Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды образует с основанием угол в 60 градусов. Какова площадь основания пирамиды, если ее боковое ребро равно 10 см?

Известно:

Правильная четырех угольная пирамида ЕАВСD. Угол ЕАF = 60 °; Боковое ребро ЕA = 10 см.

Определим, площадь основания пирамиды АВСD.

Решение:

1) ЕF - высота от вершины к центру основания.

2) Рассмотрим треугольник АFE с прямым углом F.

cos ЕАF = AF/AE;

Отсюда АF = AE * cos ЕАF = 10 см * cos 60 = 10 см * 1/2 = 10/2 см = 5 см;

3) Найдем высоту ЕF.

EF = √ (AE^2 - AF^2) = √ (10^2 - 5^2) = √ (100 - 25) = √75 = √ (3 * 25) = √25 * √3 = 5√3 см;

3) АС - диагональ основания.

АС = 2 * AF = 2 * 5 см = 10 см;

Так как, основание имеет форму квадрата, тогда диагональ равна a√2, где а - сторона квадрата.

a√2 = 10 см;

a = 10/√2 см.

3) Найдем площадь основания.

S = (10/√2) ^2 = 100/2 = 50 см^2.

Ответ: S = 50 см^2.