Даны функции f (x) = - x^2 + 2x - 3 и g (x) = x^2 + 2. Напишите уравнение общей касательной к графикам функций y = f (x) и y = g (x).

f (x) = - х2 + 2 х - 3

g (x) = x2 + 2

Уравнение касательной к графику функции в точке х0 имеет вид:

у = f' (x0) (x - x0) + f (x0)

1. Составим уравнение касательной к графику f (x) = - х2 + 2 х - 3:

Пусть касательная проходит через точку х0 = с:

f' (x) = ( - х2 + 2 х - 3) ' = - 2x + 2

f' (c) = - 2c + 2

f (c) = - c2 + 2c - 3

Уравнение касательной:

у = (-2 с + 2) (х - с) - c2 + 2c - 3 = - 2 сх + 2 с2 + 2 х - 2 с - c2 + 2c - 3 = (2 - 2 с) х + с2 - 3

у = (2 - 2 с) х + с2 - 3

2. Составим уравнение касательной к графику g (x) = x2 + 2:

Пусть касательная проходит через точку х0 = а:

g' (x) = (x2 + 2) ' = 2x

g' (а) = 2 а

g (а) = а2 + 2

Уравнение касательной:

у = 2 а (х - а) + а2 + 2 = 2 ах - 2 а2 + а2 + 2 = 2 ах - а2 + 2

у = 2 ах - а2 + 2

3. Т. к. искомая касательная едина для двух функций, то

2 - 2 с = 2 а

с2 - 3 = - а2 + 2

Решим систему уравнений.

а = 1 - с

подставим во второе уравнение:

с2 - 3 = - (1 - с) 2 + 2

с2 - 3 = - 1 + 2 с - с2 + 2

с2 - 3 + 1 - 2 с + с2 - 2 = 0

2 с2 - 2 с - 4 = 0

с2 - с - 2 = 0

(с + 1) (с - 2) = 0

с1 = - 1

с2 = 2

Тогда:

а1 = 2

а2 = - 1

Таким образом, графики функций имеют 2 общие касательные:

у = 4 х - 2

у = - 2 х + 1