Известно, что 6tgt-ctgt=1 и t∈ (0; π/2). Найдите значение выражения sint-cost.

В задании дано равенство 6 * tgt - ctgt = 1 и принадлежность угла t ∈ (0; π/2). Требуется найти значение выражения sint - cost, которого обозначим через Т. Прежде всего, отметим, что условие t ∈ (0; π/2) позволяет утверждать, что рассматриваются такие углы t, для которых левая часть данного равенства имеет смысл. Воспользуемся тождеством tgα * ctgα = 1, которого перепишем в виде ctgα = 1 / tgα. Тогда, вместо данного уравнения, получим: 6 * tgt - 1 / tgt = 1. Умножая обе части последнего равенства на tgt, а затем, упрощая, имеем: 6 * tg²t - tgt - 1 = 0. Введём новую переменную х = tgt. Тогда, последнее уравнение примет вид: 6 * х² - х - 1 = 0. Найдем дискриминант полученного квадратного уравнения: D = (-1) ² - 4 * 6 * (-1) = 1 + 24 = 25. Так как дискриминант больше нуля, то квадратное уравнение имеет два действительных корня. Вычислим их: x₁ = (1 - √ (25)) / (2 * 6) = (1 - 5) / 12 = - 4/12 = - ⅓ и x₂ = (1 + √ (25)) / (2 * 6) = (1 + 5) / 12 = 6/12 = ½. Обратим внимание на условию t ∈ (0; π/2), для которых х = tgt > 0. Это условие позволяет отбросить корень х = - ⅓. Рассмотрим корень х = tgt = ½. Используя формулу 1 + tg²α = 1 / cos²α, имеем: 1 + (½) ² = 1 / cos²t, откуда cos²t = 1 / (1 + ¼) = 4/5. Следовательно, с учетом условия t ∈ (0; π/2), получим: cost = + √ (4/5) = 2√ (5) / 5. Учитывая, что tgα = sinα / cosα, преобразуем данное выражение Т следующим образом: Т = sint - cost = (cost * (sint - cost)) / cost = cost * (sint / cost - cost / cost) = cost * (tgt - 1) = (2√ (5) / 5) * (½ - 1) = - √ (5) / 5.

Ответ: - √ (5) / 5.