Числа 2798, 3103, 3469 дают равные ненулевые остатки при делении на некоторое натуральное число n. Найти n.

Допустим, что число 2798 при делении на n даёт в остатке x, а частное равно a. Получаем:

(2798 - x) : n = a,

2798 - x = a * n,

x = 2798 - a * n.

Пусть 3103 при таком же делителе и остатке даёт частное b. Получаем:

x = 3103 - b * n

Пусть 3469 при таком же делителе и остатке даёт частное c. Получаем:

х = 3469 - c * n.

Таким образом можем составит равенство:

2798 - a * n = 3103 - b * n,

n * (b - a) = 3103 - 2798,

n * (b - a) = 305.

Разложим 305 на множители: 305 = 5 * 61.

Составим второе равенство:

3103 - b * n = 3469 - c * n,

n * (c - b) = 3469 - 3103,

n * (c - b) = 366.

Разложим 366 на множители: 366 = 6 * 61.

Составим третье равенство:

2798 - a * n = 3469 - c * n,

n * (c - a) = 671.

Разложим 671 на множители: 671 = 61 * 11.

Очевидно, что n = 61.

Проверяем: 2798 : 61 = 45 в остатке 53, 3103 : 61 = 50 в остатке 53, 3469 : 61 = 56 в остатке 53.

Если несколько целых чисел при делении на некоторое число N дают одинаковые остатки, то разница этих чисел делится на это число без остатка.

При решении данного задания нужно придерживаться следующего алгоритма Найти разницу между данными числами; разложить разницу между числами на множители; сравнить множители разницы чисел, найти общий множитель, это число и будет числом N. Найдем разницу между числами

Даны числа 2798, 3103 и 3469.

1) Найдем разницу между 3103 и 2798, выполняя вычитание меньшего числа из большего:

3103 - 2798 = 305;

Разложим разницу на множители:

Число 305 заканчивается на 5, значит, оно делится на 5, 305 : 5 = 61;

305 = 5 * 61.

2) Найдем разницу между 3103 и 3469:

3469 - 3103 = 366;

Разложим разницу на множители:

Число 366 четное, значит, делится на 2, 366 : 2 = 183;

1 + 8 + 3 = 12 (делится на 3), значит и 183 делится на 3, 183 : 3 = 61;

366 = 3 * 2 * 61.

3) Найдем разницу между 3469 и 2798:

3469 - 2798 = 671;

Разложим разницу на множители:

(6 + 1) = 7, значит, 671 делится на 11, 671 : 11 = 61;

671 = 11 * 61.

Общий множитель у всех равен 61. Значит, N = 61.

Выполним проверку:

Поделим все три числа на 61

2798 : 61 = 45 (остаток 53);

3103 : 61 = 50 (остаток 53);

3469 : 61 = 56 (остаток 53);

Все верно.

Ответ: N = 61.