У англичан принято давать детям несколько имен. Сколькими способами можно назвать ребенка, Если общее число имен равно m, а ребенку дают не более трех разных имен?

Англичане дают новорожденным не более трех имен, значит при присвоении имени возможны 3 варианта, когда дают 1, 2 или 3 имени.

Количество комбинаций имен определяют сложением комбинаций в каждом из трех случаев, с учетом того, что имена в комбинациях не повторяются:

Если присваивают 1 имя - количество возможных комбинаций равно количеству известных имен m;

При присвоении 2-х имен - количество возможных комбинаций определяет произведение количества известных имен m на первом месте и количество оставшихся имен (m - 1) на втором месте, так как имена не повторяются:

m * (m - 1);

При выборе 3-х имен - количество комбинаций определяется произведением количества известных имен m на первом месте, количества оставшихся имен после вычитания одного имени на втором месте и количества оставшихся имен (m - 2) на третьем месте:

m * (m - 1) * (m - 2);

Итого комбинаций:

m + m * (m - 1) + m * (m - 1) * (m - 2) = m * (1 + (m - 1) + (m - 1) * (m - 2)) = m * (1 + (m - 1) * (1 + (m - 2))) = m * (1 + (m - 1) * (1 + m - 2)) = m * (1 + (m - 1) * (m - 1)) = m * (1 + (m - 1) ²) = m * (1 + m² - 2 * m + 1) = m * (m² - 2 * m + 2) = m³ - 2 * m² + 2 * m.