Докажите, что существуют такие х и у, при которых выражение 2 ху + 6 х - 10 х² - у² - 1 принимает наибольшее значение, и найдите эти значения х и у.

1. Выделим полные квадраты двучленов:

f (x, y) = 2 ху + 6 х - 10 х^2 - у^2 - 1; f (x, y) = - (10 х^2 + у^2 - 2xy - 6x + 1); f (x, y) = - (х^2 - 2xy + у^2 + 9x^2 - 6x + 1); f (x, y) = - ((х - y) ^2 + (3x - 1) ^2).

2. Квадрат любого действительного числа неотрицательное число:

(х - y) ^2 ≥ 0; (1) (3x - 1) ^2 ≥ 0. (2)

3. Сложим почленно неравенства (1) и (2), затем умножим обе части на - 1, изменив знак неравенства:

(х - y) ^2 + (3x - 1) ^2 ≥ 0; - ((х - y) ^2 + (3x - 1) ^2) ≤ 0; f (x, y) ≤ 0.

4. Функция f (x, y) наибольшее значение принимает при значениях переменных:

{х - y = 0;

{3x - 1 = 0; {y = x;

{3x = 1; {y = 1/3;

{x = 1/3.

Ответ: (1/3; 1/3).