1/2lg (x²-4x-1) = lg (8x) - lg (4x)

1/2 * lg (x² - 4x - 1) = lg (8x) - lg (4x).

Используя свойства логарифмов, получим:

lg (x² - 4x - 1) ^1/2 = lg (8x : 4x),

lg (x² - 4x - 1) ^1/2 = lg2,

(x² - 4x - 1) ^1/2 = 2.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

x² - 4x - 1 = 4,

x² - 4x - 5 = 0,

D = 36,

х = 5, х = - 1.

Сделаем проверку х = 5:

1/2 * lg (5² - 4 * 5 - 1) = lg (8 * 5) - lg (4 * 5),

1/2 * lg4 = lg40 - lg20,

lg4^1/2 = lg (40 : 20),

lg2 = lg2 - верное равенство, следовательно х = 5 - корень уравнения.

Сделаем проверку х = - 1:

1/2 * lg (( - 1) ² - 4 * ( - 1) - 1) = lg (8 * ( - 1)) - lg (4 * ( - 1)) - выражение под знаком логарифма не может быть отрицательным, следовательно х = - 1 - не корень.

Ответ: х = 5.