Найдите наибольшее и наименьшее значение функции на данном отрезке y=x^4+8x^3+16x^2 (-3; 1)

1. Найдем первую производную функции:

у' = (х^4 + 8 х^3 + 16 х^2) = 4 х^3 + 24 х^2 + 32 х.

2. Приравняем эту производную к нулю:

4 х^3 + 24 х^2 + 32 х = 0;

4 х * (х^2 + 6 х + 8) = 0;

4 х = 0;

х = 0.

х^2 + 6 х + 8 = 0.

D = b^2 - 4ac = 36 - 4 * 1 * 8 = 36 - 32 = 4.

x1 = (-b + √D) / 2a = (-6 + 2) / 2 = - 4/2 = - 2;

x2 = (-b - √D) / 2a = (-6 - 2) / 2 = - 8/2 = - 4.

Точка х = - 4 не пренадлежит заданному отрезку.

3. Найдем значение функции в точке х = - 2 и на концах заданного отрезка [-3; 1]:

у (-3) = (-3) ^4 + 8 * (-3) ^3 + 16 * (-3) ^2 = 81 - 216 + 144 = 9;

у (-2) = (-2) ^4 + 8 * (-2) ^3 + 16 * (-2) ^2 = 16 - 64 + 64 = 16;

у (1) = 1^4 + 8 * 1^3 + 16 * 1^2 = 1 + 8 + 16 = 25.

Ответ: fmax = 25, fmin = 9.