12sin^2 pi*x/102 + 8 cos pi*x/102=13

По тригонометрическим формулам sin²x = 1 - cos²x.

12 (1 - cos²пх/102) + 8cosпx/102 = 13.

12 * 1 - 12 * cos²пх/102 + 8cosпx/102 - 13 = 0.

- 12cos²пх/102 + 8cosпx/102 - 1 = 0.

Пусть cosпx/102 = у, тогда наше выражение примет вид:

- 12y² + 8y - 1 = 0.

Имеем квадратное уравнение, для решения найдем дискриминант D = b² - 4ac.

D = 8 * 8 - 4 * ( - 12) * ( - 1) = 64 - 48 = 16, √D = √16 = 4.

Дискриминант больше нуля, значит найдем корни по формуле x1; 2 = ( - b ± √D) / 2a.

y1 = ( - 8 - 4) / ( - 12 * 2) = ( - 12) / ( - 24) = 1/2.

y2 = ( - 8 + 4) / ( - 12 * 2) = ( - 4) / ( - 24) = 1/6.

Значит cosпx/102 = 1/2 и cos пx/102 = 1/6.

1) cosпx/102 = 1/2.

пx/102 = ± arccos1/2 + 2 пk, k€Z.

пx/102 = ± п/3 + 2 пk, k€Z.

х = ± п/3 * 102/п + 2 пk * 102/п, k€Z.

х = ± 34 + 204k, k€Z.

2) cosпx/102 = 1/6.

пx/102 = ± arccos1/6 + 2 пk, k€Z.

x = ± (102arccos1/6) / п + 2 пk * 102/п, k€Z.

х = ± (102arccos1/6) / п + 204k, k€Z.

Ответ: х = ± 34 + 204k, k€Z.

х = ± (102arccos1/6) / п + 204k, k€Z.