Найдите корни уравнения sin x + sin 2x = cos x + 2 cos^2x, принадлежащие полуинтервалу ( - 3 П/4; П)

1. Воспользуемся тригонометрической формулой:

sin2α = 2sinα * cosα; sinx + sin2x = cosx + 2cos^2 (x); sinx + 2sinx * cosx = cosx + 2cos^2 (x); sinx (1 + 2cosx) = cosx (1 + 2cosx); sinx (1 + 2cosx) - cosx (1 + 2cosx) = 0.

2. Вынесем общий множитель 1 + 2cosx за скобки:

(1 + 2cosx) (sinx - cosx) = 0; [1 + 2cosx = 0;

[sinx - cosx = 0; [2cosx = - 1;

[sinx = cosx; [cosx = - 1/2;

[tgx = 1; [x = ±2π/3 + 2πk, k ∈ Z;

[x = π/4 + πk, k ∈ Z.

3. Промежутку (-3π/4; π) принадлежат корни:

-2π/3; π/4; 2π/3.

Ответ: - 2π/3; π/4; 2π/3.