Доказать дождество корень из (1+sin a) + корень из (1 - sin a) = 2 cos a/2

1. Обозначим:

Z = √ (1 + sina) + √ (1 - sina). (1)

2. Т. к. в правой части равенства (1) неотрицательное число, то можем возводить обе части равенства в квадрат:

Z^2 = {√ (1 + sina) + √ (1 - sina) }^2;

Z^2 = {√ (1 + sina) }^2 + 2 * √ (1 + sina) * √ (1 - sina) + {√ (1 - sina) }^2;

Z^2 = 1 + sina + 2√{ (1 + sina) * (1 - sina) } + 1 - sina;

Z^2 = 2 + 2√ (1 - sin^2 (a));

Z^2 = 2 + 2√cos^2 (a));

Z^2 = 2 + 2cosa, для значений a ∈ [-π/2; π/2];

Z^2 = 2 (1 + cosa);

Z^2 = 4cos^2 (a/2).

3. Для указанного промежутка cos (a/2) ≥ 0, поэтому:

Z = √ (4cos^2 (a/2));

Z = 2cos (a/2).

Тождество доказано.