Как вычислить предел последовательности lim (1/3*5+1/5*7 + ... + 1 / (2*n+1) * (2*n+3)) при n стремится к бесконечности

Для нахождения предела данной последовательности, вычислим сумму:

1/3*5 + 1/5*7 + ... + 1 / (2 * n + 1) * (2 * n + 3).

Воспользуемся тем, что для любого число n справедливо следующее соотношение:

1 / (4 * n + 2) - 1 / (4 * n + 6) = (4 * n + 6) / (4 * n + 2) * (4 * n + 6) - (4 * n + 2) / (4 * n + 2) * (4 * n + 6) = 4 / (4 * n + 4) * (4 * n + 6) = 1 / (2 * n + 1) * (2 * n + 3).

Используя данное соотношение, можем записать:

1/3*5 + 1/5*7 + ... + 1 / (2 * n + 1) * (2 * n + 3) = 1/6 - 1/10 + 1/10 - 1/14 + ... + 1 / (4 * n - 2) - 1 / (4 * n + 2) + 1 / (4 * n + 2) - 1 / (4 * n + 6) = 1/6 - 1 / (4 * n + 6).

Следовательно:

lim_n→∞ (1/6 - 1 / (4 * n + 6)) = lim_n→∞ (1/6) - lim_{n→∞ (}1 / (4 * n + 6)) = 1/6 - 0 = 1/6.

Ответ: lim_n→∞ (1/3*5 + 1/5*7 + ... + 1 / (2 * n + 1) * (2 * n + 3)) = 1/6.