Разложите на неприводимые множители следующие многочлены 1) g (x) = 3x^2-8x^2-5x+6 2) h (x) = 2x^3-x^2+2x-1 Решите рациональные неравенства 1) (x-4) ^5 * (x-3) ^2 * (x+3) ^3<0 2) x^3-27> (x-3) ^3

1) g (x) = 3x^3 - 8x^2 - 5x + 6.

Разложим многочлен на множители при помощи схемы Горнера.

Выписываем коэффициенты: 3, - 8, - 5 и 6.

Находим все делители свободного члена 6: - 1, 1, - 2, 2, - 3, 3, - 6, 6.

Пробуем (-1) : - 1 * 3 + (-8) = - 11; - 1 * (-11) + (-5) = 6; - 1 * 6 + 6 = 0 (подходит).

Значит, первая скобка будет (х + 1), а во вторую собираем новый многочлен с новыми коэффициентами, понижая степень на 1: (3 х^2 - 11 х + 6).

Получается g (x) = 3x^3 - 8x^2 - 5x + 6 = (х + 1) (3 х^2 - 11 х + 6).

Разложим квадратный трехчлен во второй скобке через дискриминант:

3 х^2 - 11 х + 6 = 3 (x - x₁) (x - x₂).

D = (-11) ^2 - 4 * 3 * 6 = 121 - 72 = 49 (√D = 7);

х₁ = (11 - 7) / (2 * 3) = 4/6 = 2/3.

х₂ = (11 + 7) / 6 = 18/6 = 3.

Значит, 3 х^2 - 11 х + 6 = 3 (х - 2/3) (х - 3) = (3 х - 2) (х - 3).

Ответ: g (x) = 3x^3 - 8x^2 - 5x + 6 = (х + 1) (3 х - 2) (х - 3).

2) h (x) = 2x^3 - x^2 + 2x - 1.

У первой пары одночленов есть общий множитель х^2, вынесем его за скобку:

2x^3 - x^2 + 2x - 1 = х^2 (2 х - 1) + (2 х - 1).

Вынесем (2 х - 1) за скобку: х^2 (2 х - 1) + (2 х - 1) = (х^2 + 1) (2 х - 1).

Разложим двучлен (х^2 + 1) на множители:

х^2 + 1 = х^2 + 2 х + 1 - 2 х = (х + 2) ^2 - (√ (2 х)) ^2 = (х + 2 + √ (2 х)) (х + 2 - √ (2 х)).

Ответ: h (x) = 2x^3 - x^2 + 2x - 1 = (х + 2 + √ (2 х)) (х + 2 - √ (2 х)) (2 х - 1).

3) (x - 4) ^5 * (x - 3) ^2 * (x + 3) ^3 < 0.

Значение (x - 3) ^2 всегда положительно, так как квадрат любого числа всегда положительный.

Произведение тогда меньше нуля, когда один из множителей меньше нуля.

Получается две системы: (x - 4) ^5 > 0; (x + 3) ^3 < 0 (а) и (x - 4) ^5 0 (б).

а) (x - 4) ^5 > 0; х - 4 > 0; x > 4.

(x + 3) ^3 < 0; x + 3 < 0; x < - 3.

Решений нет.

б) (x - 4) ^5 < 0; x - 4 < 0; x < 4.

(x + 3) ^3 > 0; x + 3 > 0; x > - 3.

Решение системы: (-3; 4).

Ответ: х принадлежит промежутку (-3; 4).

2) x^3 - 27 > (x - 3) ^3.

Разложим левую часть неравенства на множители по формуле разности кубов.

(x - 3) (х^2 + 3 х + 9) > (x - 3) ^3.

Перенесем все в левую часть:

(x - 3) (х^2 + 3 х + 9) - (x - 3) ^3 > 0.

Вынесем общий множитель (х - 3) за скобку:

(х - 3) (х^2 + 3 х + 9 - (x - 3) ^2) > 0.

Упростим выражение:

(х - 3) (х^2 + 3 х + 9 - (x^2 - 6 х + 9)) > 0;

(х - 3) (х^2 + 3 х + 9 - x^2 + 6 х - 9)) > 0;

(х - 3) * 9 х > 0.

Произведение тогда больше нуля, когда оба множителя имеют одинаковые знаки:

х - 3 > 0; 9x > 0 (а) и x - 3 < 0; 9x < 0 (б).

а) х - 3 > 0; х > 3.

9x > 0; x > 0.

Решение системы: (3; + ∞).

б) x - 3 < 0; x < 3.

9x < 0; x < 0.

Решение системы: (-∞; 0).

Ответ: х принадлежит промежуткам (-∞; 0) и (3; + ∞).