Найти наибольшее и наименьшее значение значения функции на заданном отрезке y=1/2x^4-9/2x^2. [-1; 4]

1. Найдем первую производную заданной функции:

у' = (1/2 х^4 - 9/2 х^2) ' = 4 * 1/2 х^3 - 9/2 * 2 х = 2 х^3 - 9 х.

2. Приравняем эту производную к нулю:

2 х^3 - 9 х = 0;

х * (2 х^2 - 9) = 0.

Приравняем каждый множитель к нулю:

х = 0;

2 х^2 - 9 = 0;

2 х^2 = 9;

х^2 = 9 : 2;

х^2 = 4,5;

х = ±√4,5.

3. Найдем значение функции в точке х = 0, х = 3/√2 и на концах заданного отрезка [-1; 4]:

у (-1) = 1/2 * (-1) ^4 - 9/2 * (-1) ^2 = 1/2 - 9/2 = - 4;

у (0) = 0 - 0 = 0;

у (3/√2) = 1/2 * (3/√2) ^4 - 9/2 * (3/√2) ^2 = 1/2 * 81/4 - 9/2 * 9/2 = 81/8 - 81/4 = - 81/8 = - 10 1/8;

у (4) = 1/2 * 4^4 - 9/2 * 4^2 = 128 - 72 = 56.

Ответ: fmax = 56, fmin = - 10 1/8.