1. Упростите выражение: а) (х - 3) (х - 7) - 2 х (3 х - 5); б) 4 а (а - 2) - (а - 4) 2; в) 2 (т + 1) 2 - 4m. • 2. Разложите на множители: а) х3 - 9 х; б) - 5 а2 - 10 аb - 5b2. 3. Упростите выражение (у2 - 2 у) 2 - у2 (у + 3) (у - 3) + 2 у (2 у2 + 5). 4. Разложите на множители: а) 16 х4 - 81; б) х2 - х - у2 - у. 5. Докажите, что выражение х2 - 4 х + 9, при любых значениях х принимает положительные значения.

1) а) Раскрываем скобки:

(х - 3) (х - 7) - 2 х (3 х - 5) = x² - 3x - 7x + 21 - 6x² + 10x.

Подведем подобные слагаемые:

x² - 3x - 7x + 21 - 6x² + 10x = - 5x² + 21.

б) 4 а (а - 2) - (а - 4) ² = 4a² + 8a - (a² - 8a + 16) = 4a² + 8a - a² + 8a - 16.

Подведем подобные слагаемые:

4a² + 8a - a² + 8a - 16 = 3a² + 16 а - 16.

в) 2 (m + 1) ² - 4m = 2 (m² + 2m + 1) - 4m = 2m² + 4m + 2 - 4m = 2m² + 2.

2) а) Вынесем х за скобку:

х³ - 9 х = х (х² - 9).

Скобку можно разложить на две скобки по формуле разности квадратов:

х (х² - 9) = х (х² - 3²) = х (х + 3) (х - 3).

б) Вынесем (-5) за скобку:

-5 а² - 10 аb - 5b² = - 5 (а² + 2 аb + b²).

Свернем скобку по формуле квадрата суммы:

-5 (а² + 2 аb + b²) = - 5 (a + b) ².

3) Раскрываем скобки и подводим подобные слагаемые:

(у² - 2 у) ² - у² (у + 3) (у - 3) + 2 у (2 у² + 5) = у⁴ - 4 у³ + 4 у² - у² (у² - 9) + 4 у³ + 10y = у⁴ - 4 у³ + 4 у² - у⁴ + 9 у² + 4 у³ + 10y = 13 у² + 10y.

4) а) Представим одночлены в виде квадратов и разложим на скобки по формуле разности квадратов:

16 х⁴ - 81 = (4 х²) ² - 9² = (4 х² - 9) (4 х² + 9) = ((2 х) ² - 3²) (4 х² + 9) = (2x - 3) (2x + 3) (4 х² + 9).

б) х² - х - у² - у = х² - у² - х - у = (x - y) (x + y) - (x + y).

Вынесем (х + у) за скобку:

(x - y) (x + y) - (x + y) = (х - у - 1) (х + 1).

5) Рассмотрим функцию у = х² - 4 х + 9. Это квадратичная парабола, ветви вверх. Найдем точки пересечения параболы с осью х: у = 0; х² - 4 х + 9 = 0.

D = 16 - 36 = - 20 (нет корней), то есть нет точек пересечения с осью х. Парабола находится над осью х (так как ветви вверх), значит, значение выражения всегда положительно при любом значении х.