Вычислить указанный предел lim x→0 sin7*Pi*x/sin8*Pi*x

lim x→0 sin7πx / sin8πx = ?

Имеем неопределенность вида 0/0.

Чтобы воспользоваться первым замечательным пределом, домножим выражение на (7πx) / (7πx) * (8πx) / (8πx) = 1:

(sin7πx ∙ 7πx ∙ 8πx) / (sin8πx ∙ 7πx ∙ 8πx) =

(sin7πx / 7πx) ∙ (8πx / sin8πx) ∙ (7πx / 8πx);

при α → 0: lim[ (sinα) / α] = lim[α / (sinα) ] = 1.

Значит, (sin7πx / 7πx) → 1 и (8πx / sin8πx) → 1, при x → 0.

Получается что исходное выражение при x → 0 стремится к:

1 ∙ 1 ∙ (7πx / 8πx) = 7/8

Ответ: предел равен 7/8.