1) Токарь должен был обработать 120 деталий к определенному сроку. Применив новый резец, он стал обтачивать в час на 20 деталий большеи поэтому закончил работу на 1 ч раньше срока. Скоолько деталий он должен был обработать по плану? 2) Турист проплыл на байдарке 15 км против течения реки и 14 км по течению, затратив на все путешествие столько же времени, сколько ему понадобилось бы, чтобы проплыть по озеру 30 км. Зная скорость течения реки равна 1 км/ч, найдите собственную скорость байдарки.

1. Пусть токарь в час должен был изготавливать х деталей, а с применением нового резца делал - (х + 20) деталей.

По плану токарь должен был выполнить работу за 120/х ч, а выполнил за 120 / (х + 20) ч.

Т. к. от выполнил работу на 1 час раньше, составим уравнение:

120/х = 120 / (х + 20) + 1;

120 / (х + 20) + 1 - 120/х = 0;

(120 х + х (х + 20) - 120 (х + 20)) / х (х + 20) = 0;

120 х + х² + 20 х - 120 х - 2400 = 0 при условии, что х ≠ 0; х ≠ - 20;

х² + 20 х - 2400 = 0;

D = 400 - 4 * ( - 2400) = 400 + 9600 = 10000 = 100²;

х₁ = ( - 20 - 100) / 2 = - 120/2 = - 60;

х₂ = ( - 20 + 100) / 2 = 80/2 = 40.

Ответ: токарь в час по плану должен был изготавливать 40 деталей.

2. Пусть х км/ч - собственная скорость байдарки. Тогда по течению реки скорость туриста - (х + 1) км/ч, против течения реки - (х - 1) км/ч.

Двигаясь по течению реки, турист потратил 14 / (х + 1) ч, против течения - 15 / (х - 1) ч.

Т. к. время движения по реке и время движения в озере одинаковое, составим уравнение:

15 / (х - 1) + 14 / (х + 1) = 30/х;

15 / (х - 1) + 14 / (х + 1) - 30/х = 0;

(15 х (х + 1) + 14 х (х - 1) - 30 (х + 1) (х - 1)) / х (х + 1) (х - 1) = 0;

15 х² + 15 х + 14 х² - 14 х - 30 х² + 30 = 0 при условии, что х ≠ 0, х ≠ - 1, х ≠ 1.

- х² + х + 30 = 0;

х² - х - 30 = 0;

По теореме Виета

х₁х₂ = - 30;

х₁ + х₂ = 1;

х₁ = - 5 - не подходит, т. к. скорость не может быть отрицательной.

X₂ = 6.

Ответ: собственная скорость байдарки 6 км/ч.