1). Z=m+in m=11 n=4 - записать комплексное число в тригонометрической и показательной форме. 2). Выполнить указанные действия 1. (m+in) ^2x (n-im) 2. (m-in) / (n+im) 3. корень в пятой степени из (-m+im)

1) Z = 11 + 4 i.

Запишем это комплексное число в тригонометрической форме:

Z = A cos x + A sin x;

A cos x = 11;

A sin x = 4.

a) Возведём оба уравнения в квадрат и сложим:

A² (cos² x + sin² x) = 11² + 4² = 137.

Выражение в скобках равно единице.

A = √137 = 11,7.

b) Разделим второе уравнение на первое:

tg x = 4/11;

x = arc tg 4/11 = 0,35.

11 + 4 i = 11,7 cos 0,35 + 11,7 sin 0,35.

Показательная форма этого числа:

11,7 e^{0.35 i}.

2) Выполнить действия:

(m + n i) ² (m - n i) = (m + n i) ((m + n i) (m - n i)) = (m² + n²) (m + n i) =

m (m² + n²) + n (m² + n²) i.

(m - n i) / (m + n i).

Домножим числитель и знаменатель дроби на комплексно сопряжённое знаменателю число:

(m - n i) ² / ((m + n i) (m - n i)) = (m - n i) ² / (m² + n²) =

(m² - n²) / (m² + n²) + 2 m i / (m² + n²).

(-m + m i) ^1/5 = m^1/5 ( - 1 + i) ^1/5.

Представим число - 1 + i в показательной форме:

- 1 + i = A cos x + A sin x = A e^xi.

A cos x = - 1;

A sin x = 1.

A² = 1 + 1 = 2;

A = 2^1/2.

tg x = - 1;

x = - 45º.

- 1 + i = 2^1/2 e^-45ºi.

(-m + m i) ^1/5 = m^1/5 (2^1/2 e^-45ºi) ^1/5 = m^1/5 2^1/10 (e^-9ºi) =

(2 m²) ^0,1 (cos 9^º - i sin 9^º).