в треугольнике АВС АВ=7 ВС=8 АС=9, Окружность проходит через точки А и С, пересекает прямые ВА и ВС, соотвественно в точках К и L, отличных от вершин треугольника АВС. Отрезок KL касается окружности вписанной в треуголник АВС. Найдите длину KL

Центр вписанной окружности обозначим как О.

Точки касания этой окружности M - со стороной АВ, Р - со стороной ВС, также обозначим точку касания с КL буквой N.

Известно, что АСКL - вписанный четырёхугольник.

Угол АСВ + угол КLС = 180 градусов.

Угол ВLК + угол KLС = 180 градусов.

Из этого следует, что угол ВLК равен углу ACB, а значит треугольник ВКL подобен АСВ.

ВМ = ВР = х;

АМ = АК = у;

СК = СР = z;

Все это отрезки, на которые делят стороны точки касания вписанной окружности.

х + у = 7;

у + z = 9;

x + z = 8;

у - х = 1;

2 * х = 6 - это необходимая для нас величина, остальное можно не учитывать.

Т. к. КМ = КN и NL = LP, можно понять, что периметр треугольника BKL = 2 * x = 6.

Поэтому BK + KL + BL = BK + NK + NL = MB + BP = 2 * x.

BL = KL * 7/9; BK = KL * 8/9 - т. к BKL подобен АСВ.

P = KL * 24/9 - это периметр.

Зная все эти данные, можем найти длину KL.

KL = 6 : 24/9;

KL = 6 * 9/24;

KL = 54/24;

KL = 9/4.

Ответ: Длина KL равна 9/4.