Определить промежутки возрастания и убывания функции. Найти экстремумф функции. y=x*e^-3x

1. Вычислим производную функции:

y (x) = xe^ (-3x);

y' (x) = (x) 'e^ (-3x) + x (e^ (-3x)) ';

y' (x) = e^ (-3x) - 3xe^ (-3x);

y' (x) = e^ (-3x) (1 - 3x);

y' (x) = 0;

e^ (-3x) (1 - 3x) = 0;

1 - 3x = 0;

-3x = - 1;

x = 1/3, критическая точка.

2. Найдем знаки производной в промежутках: (-∞; 1/3) и (1/3; ∞):

y' (0) = e^ (0) (1 - 0) = 1 > 0;

y' (1) = e^ (-3) (1 - 3) = - 2e^ (-3) < 0.

На промежутке: (-∞; 1/3] функция возрастает.

На промежутке: [1/3; ∞) функция убывает.

В точке x = 1/3 функция из возрастания переходит в убывание, следовательно:

x = 1/3 - точка максимума.