Разложите на множители: 9x^2 + 9ax^2 - y^2 + ay^2 + 6axy

Нам нужно разложить на множители выражение 9x^2 + 9ax^2 - y^2 + ay^2 + 6axy.

Разложить на множители в математике означает представить выражение в виде произведения чего-либо на что-либо.

Для разложения на множители в математике используются тождественные преобразования. В данном примере мы будем использовать группировку, вынесение общего множителя за скобки и формулы сокращенного умножения.

Составим алгоритм разложения на множители выражения сгруппируем слагаемые с параметром а и слагаемые без параметра а; в сумме слагаемых содержащих параметра а, вынесем его за скобки; первую скобку разложим по формуле сокращенного умножения - разность квадратов; вторую скобку свернем по формуле сокращенного умножения квадрат суммы и разложим на множители используя определение степени; вынесем общий множитель за скобки и преобразуем выражение во второй скобке. Разложим на множители выражение 9x^2 + 9ax^2 - y^2 + ay^2 + 6axy

Согласно алгоритму, сгруппируем слагаемые с параметром а и без.

9x^2 + 9ax^2 - y^2 + ay^2 + 6axy = (9x^2 - y^2) + (9ax^2 + 6axy + ay^2);

Вынесем из второй скобки а, получим:

(9x^2 - y^2) + (9ax^2 + 6axy + ay^2) = (9x^2 - y^2) + a (9x^2 + 6xy + y^2).

Далее нам потребуются формулы сокращенного умножения.

Разность квадратов: a^2 - b^2 = (a - b) (a + b);

Квадрат суммы: (a + b) ^2 = a^2 + 2ab + b^2.

(9x^2 - y^2) + a (9x^2 + 6xy + y^2) = ((3x) ^2 - y^2) + a ((3x) ^2 + 2 * 3x * y + y^2) = (3x - y) (3x + y) + a (3x + y) ^2 = (3x - y) (3x + y) + a (3x + y) (3x + y) = (3x + y) (3x + y + a (3x + y) = (3x + y) (3x + y + 3ax + ay).

Ответ: (3x + y) (3x + y + 3ax + ay).

9x^2 + 9ax^2 - y^2 + ay^2 + 6axy = 9x^2 - y^2 + 9ax^2 + ay^2 + 6axy = (3x - y) (3x + y) + 9ax^2 + ay^2 + 6axy = (3x-y) (3x+y) + a (3x+y) = (3x+y) ((3x-y) + a) = (3x+y) (3x-y + a).

Таким образом, выражение преобразовалось так: 9x^2 + 9ax^2 - y^2 + ay^2 + 6axy = (3x+y) (3x-y + a).