Требуется изготовить закрытый цилиндрический бак ёмкостью V. При каком R основания на изготовление бака пойдётнаименьшее кол-во материала?

Площадь поверхности цилиндрического бака: S = 2 * pi * R² + 2 * pi * R * h.

Объём бака: V = pi * R² * h, откуда h = V / (pi * R²).

Подставив последнее выражение для h в формулу для площади поверхности, получим зависимость S (R):

S (R) = 2 * pi * R² + 2 * V / R.

Необходимо найти минимум этой функции.

Её производная равна:

S' (R) = 4 * pi * R - 2 * V / R².

Она определена всюду, кроме R = 0.

Нули производной:

4 * pi * R - 2 * V / R² = 0,

откуда R = ³√ (V / (2 * pi)).

Эта единственная точка есть точка минимума.

Площадь поверхности бака составит:

S (³√ (V / (2 * pi))) = 2 * pi * (³√ (V / (2 * pi))) ² + 2 * V / ³√ (V / (2 * pi)).