Решите уравнение 2sin^2x-5sinxcosx-cos^2x=-2. ^-Знак возведения в степень.

В задании дано тригонометрическое уравнение 2 * sin²x - 5 * sinx * cosx - cos²x = - 2. По требованию задания, решим данное уравнение. Рассмотрим случай, когда cosx = 0. В этом случае, согласно основного тригонометрического тождества, sinx = ±√ (1 - cos²x) = ±1. Тогда, левая часть данного уравнения примет вид 2 * (±1) ² - 5 * (±1) * 0 - 0² = 2 * 1 - 0 - 0 = 2. Поскольку правая часть данного уравнения равна - 2, то cosx ≠ 0. Поделим обе части данного уравнения на cos²x ≠ 0 и воспользуемся формулами tgα = sinα / cosα и 1 + tg²α = 1 / cos²α. Тогда, имеем: 2 * tg²х - 5 * tgх - 1 = - 2 * (1 + tg²х) или 4 * tg²х - 5 * tgх + 1 = 0. Введя новую переменную у = tgх, последнее уравнение перепишем в виде 4 * у² - 5 * у + 1 = 0. Решим полученное квадратное уравнение. Найдем его дискриминант: D = (-5) ² - 4 * 4 * 1 = 25 - 16 = 9. Так как дискриминант больше нуля, то квадратное уравнение имеет два действительных корня. Вычислим их: у₁ = (5 - √ (9)) / (2 * 4) = (5 - 3) / 8 = 2/8 = 0,25 и у₂ = (5 + √ (9)) / (2 * 4) = (5 + 3) / 8 = 8/8 = 1. Исследуем каждый корень квадратного уравнения по отдельности. При у = 0,25, получим уравнение tgх = 0,25. Это простейшее тригонометрическое уравнение дает нам следующую серию решений данного уравнения: х₁ = arctg0,25 + π * k, где k - целое число. Аналогично, при у = 1, имеем другое простейшее тригонометрическое уравнение tgх = 1, которое дает нам ещё две серии решений данного уравнения: х₂ = π/4 + 2 * π * n и х₃ = 5 * π/4 + 2 * π * m, где n и m - целые числа.

Ответ: х = arctg0,25 + π * k, х = π/4 + 2 * π * n и х = 5 * π/4 + 2 * π * m, где k, n и m - целые числа.