Ученик умножил число 11122223333 на 123, получив 3666033469949. Учитель, не пересчитывая, сказал, что ученик не умеет умножать большие числа. Как он это сделал?

Учитель мог заметить, что 123 = 3 * 41.

Тогда при умножении числа 11122223333 на 123,

должно поучиться число, которое делится на 3.

Если бы ученик не ошибся, то результат, который он дал,

должен был бы делиться на 3.

Рассмотрим результат, который дал ученик:

3666033469949.

Если бы он был верным, то это число делится на 3.

Но по критерию делимости на 3, сумма цифр этого числа:

3 + 6 * 3 + 3 * 2 + 6 + 9 * 3 + 4 + 4 =

= 3 + 6 * 3 + 3 * 2 + 6 + 9 * 3 + 6 + 2

на 3 не делится.

Следовательно, ученик сделал ошибку.