Известно, что три натуральных числа являются последовательными членами геометрической прогрессии, третье число равно 12, и если взять ( - 36) вместо 12, то эти числа будут последовательными членами арифметической прогрессии. Найдите сумму цифр первого числа. А) 10. Б) 15. В) 7. Г) 9. Д) другой ответ.

Предположим, что первым членом описанной в задании, геометрической прогрессии, является х, а её знаменатель равен q. Тогда, этими тремя натуральными числами являются: х; q * х и 12. Воспользуемся характеристическим свойством геометрической прогрессии, которое выражается формулой b_{n - 1} * b_{n + 1} = (b_n) ², где b_n - n-й член геометрической прогрессии, n = 2, 3, ... Имеем: 12 * х = (q * х) ² или q² * х = 12. Теперь, по требованию задания, заменим 12 на (-36). Тогда, новыми тремя числами являются: х; q * х и (-36). Поскольку эти числа являются последовательными членами арифметической прогрессии, то воспользуемся характеристическим свойством арифметической прогрессии, которое выражается формулой а_{n - 1} * а_{n + 1} = 2 * а_n, где а_n - n-й член арифметической прогрессии, n = 2, 3, ... Имеем: - 36 + х = 2 * q * х. Выразим q через х. Имеем: q = (х - 36) / (2 * х). Подставим найденное выражение в последнее равенство п. 1. Имеем: [ (х - 36) / (2 * х) ]² * х = 12 или (х - 36) ² = 12 * 4 * x, откуда х² - 120 * х + 1296 = 0. Вычислим дискриминант D полученного квадратного уравнения: (-120) ² - 4 * 1 * 1296 = 14400 - 5184 = 9216. Поскольку D = 9216 > 0, то квадратное уравнение имеет два различных корня. Найдём их: х₁ = (120 - √ (9216)) : 2 = (120 - 96) : 2 = 12 и х₂ = (120 + √ (9216)) : 2 = (120 + 96) : 2 = 108. Исследуем каждый корень по отдельности. При х = 12, последнее равенство п. 2 позволяет определить q = (12 - 36) / (2 * 12) = - 1. Тогда, хотя последовательность чисел 12; - 12; 12 является геометрической прогрессией, но - 12 не является натуральным числом. Следовательно, этот корень - побочный. При х = 108. Вычислим q = (108 - 36) / (2 * 108) = 1/3. Тогда, последовательность натуральных чисел 108; 36; 12 является геометрической прогрессией, а последовательность чисел 108; 36; - 36 является арифметической прогрессией. Найдём сумму цифр первого числа 108. Имеем: 1 + 0 + 8 = 9. Следовательно, ответ Г) 9 - верный ответ.

Ответ: Г) 9.