Решите уравнение (x-2) (x^2+6x+9) = 6 (x+3)

(x - 2) (x^2 + 6x + 9) = 6 (x + 3) - разложим (x^2 + 6x + 9) на множители по формуле ax^2 + bx + c = a (x - x1) (x - x2), где х1 и х2 - корни квадратного трехчлена;

x^2 + 6x + 9 = 0;

D = b^2 - 4ac;

D = 6^2 - 4 * 1 * 9 = 36 - 36 = 0 - если дискриминант равен 0, то уравнение имеет один корень;

x = ( - b ± √D) / (2a);

x = ( - 6 ± 0) / (2 * 1) = - 6/2 = - 3;

x^2 + 6x + 9 = (x + 3) (x + 3) = (x + 3) ^2.

(x - 2) (x^2 + 6x + 9) = 6 (x + 3);

(x - 2) (x + 3) ^2 = 6 (x + 3);

(x - 2) (x + 3) ^2 - 6 (x + 3) = 0 - вынесем за скобку (x + 3);

(x + 3) ((x - 2) (x + 3) - 6) = 0;

(x + 3) (x^2 + 3x - 2x - 6 - 6) = 0;

(x + 3) (x^2 + x - 12) = 0 - произведение двух множителей равно 0 тогда, когда один из них равен 0;

1) x + 3 = 0;

x = - 3.

2) x^2 + x - 12 = 0;

D = 1^2 - 4 * 1 * ( - 12) = 1 + 48 = 49; √D = 7;

x1 = ( - 1 + 7) / 2 = 6/2 = 3;

x2 = ( - 1 - 7) / 2 = - 8/2 = - 4.

Ответ. - 4; - 3; 3.

Или по другому:

(x - 2) (x^2 + 6x + 9) = 6 (x + 3) - в левой части уравнения умножим каждый член первой скобки на каждый член второй скобки; х на x^2, на 6 х и на 9; в правой части уравнения умножим 6 на х и на 3;

x^3 + 6x^2 + 9x - 2x^2 - 12x - 18 = 6x + 18;

x^3 + 6x^2 + 9x - 2x^2 - 12x - 18 - 6x - 18 = 0

x^3 + 4x^2 - 9x - 36 = 0 - сгруппируем первые два слагаемых и вторые два слагаемых;

(x^3 + 4x^2) + ( - 9x - 36) = 0 - в первой скобке вынесем общий множитель x^2, а во второй скобке вынесем ( - 9);

x^2 (x + 4) - 9 (x + 4) = 0 - вынесем за скобку (x + 4);

(x + 4) (x^2 - 9) = 0 - произведение двух множителей равно 0 тогда, когда один из них равен 0;

1) x + 4 = 0;

x = - 4.

2) x^2 - 9 = 0;

x^2 = 9;

x1 = 3;

x2 = - 3.

Ответ. - 4; - 3; 3.