при каких значениях a уравнение (x-a) (ax^2+6x+5a) = 0 имеет ровно два различных действительных корня?

1. Приравниваем каждый множитель к нулю:

(x - a) (ax^2 + 6x + 5a) = 0; [x = a;

[ax^2 + 6x + 5a = 0.

2. При a = 0 второе уравнение перестает быть квадратным:

[x = 0;

[0 * x^2 + 6x + 5 * 0 = 0; [x = 0;

[6x = 0; x = 0.

Уравнение имеет один корень, значение a = 0 не подходит.

3. При a ≠ 0 возможно несколько случаев:

D/4 = 3^2 - 5a^2 = 9 - 5a^2.

a) D/4 < 0, квадратное уравнение не имеет решений.

b) D/4 = 0;

9 - 5a^2 = 0; 5a^2 = 9; a = ±3/√5; x = - b/2a = - 3/a.

При a = ±3/√5 уравнение имеет два корня:

1) a = - 3/√5: x1 = a = - 3/√5; x2 = - b/2a = √5; 2) a = 3/√5: x1 = a = 3/√5; x2 = - b/2a = - √5.

с) Еще рассмотрим случай, когда квадратное уравнение имеет два корня, однако один из корней совпадает с корнем x = a:

ax^2 + 6x + 5a = 0; a * a^2 + 6a + 5a = 0; a^3 + 11a = 0; a (a^2 + 11) = 0; a = 0, случай уже рассмотрен; a^2 + 11 = 0, нет решений.

Таких случаев не существует, поэтому при D/4 > 0 уравнение имеет три корня.

Ответ: ±3/√5.