докажите тождество: cos 2x + x cos 2x - 1 = - x

cos 2x + x cos 2x - 1 = - x

Меняем местами некоторые элементы данного уравнения.

x cos 2x + x = 1 - cos 2x

Так как 1 - cos 2x = 2 sin^2x, то делаем замену в левой части уравнения:

x cos 2x + x = 2 sin^2x.

Выносим х за скобку в правой части уравнения.

х (cos 2x + 1) = 2 sin^2x.

Так как cos 2x + 1 = 2 cos^2x, то делаем замену в правой части уравнения:

х (2 cos^2x) = 2 sin^2x

х = 2 sin^2x / 2 cos^2x

х = tg^2x

Проверяем уравнение:

cos 2x + tg^2 х * cos 2x - 1 = cos 2x (1 + tg^2 х) - 1 = cos 2x / cos^2x - 1, так как 1 + tg^2 х = 1 / cos^2x

cos 2x / cos^2x - 1 = (cos 2x - cos^2x) / cos^2x

(cos 2x - cos^2x) / cos^2x = (cos^2x - sin^2x - cos^2x) / сos^2x = - sin^2x / cos^2x = - tg^2x