Даны вершины треугольника A (3; 2; -3), B (5; 1; -1) и C (3; -2; 4). Найдите длины сторон треугольника и угол при вершине A.

Находим длины сторон треугольника по формулам нахождения расстояния между точками, координаты которых указаны в трехмерном пространстве:

|AB| = ((5 - 3) ^2 + (1 - 2) ^2 + (-1 + 3) ^2) ^ (1/2) = (4 + 1 + 4) ^ (1/2) = 3;

|AC| = ((3 - 3) ^2 + (-2 - 2) ^2 + (4 + 3) ^2) ^ (1/2) = (16 + 49) ^ (1/2) = 65^ (1/2).

|BC| = ((3 - 5) ^2 + (-2 - 1) ^2 + (4 + 1) ^2) ^ (1/2) = (4 + 9 + 25) ^ (1/2) = 38^ (1/2);

Находим величину угла из теоремы косинусов:

BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 * AB * AC * cos A;

38 = 9 + 65 - 2 * 3 * 65^ (1/2) * cos A;

-36 = - 6 * 65^ (1/2) * cos A;

cos A = 6/65^ (1/2);

A = arccos (6/65^ (1/2)).