X1 и x2 корни уравнения x^2+7x+18=0. не решая уравнения, найдите значение x1/x2+x2/x1

Решение:

По теореме Виета, для приведенного квадратного уравнения x^2 + px + q = 0, справедливы следующие выражения:

x1 + x2 = - p;

x1*x2 = q;

Для заданного квадратного уравнения x^2+7x+18=0 распишем эти выражения:

x1+x2=-7;

x1*x2=18;

Чтобы найти искомое значение выражения x1/x2 + x2/x1, приведем его к общему знаменателю:

x1/x2 + x2/x1 = (x1^2 + x2^2) / (x1*x2) = (x1^2 + 2 x1 * x2 + x2^2 - 2 x1 * x2) / (x1 * x2) = ((x1 + x2) ^2 - 2 x1 * x2) / (x1 * x2);

Подставим ранее найденные значения в получившееся выражение:

((x1 + x2) ^2 - 2 x1 * x2) / (x1 * x2) = (( - 7) ^2 - 2 * 18) / 18 = 13/18;

Ответ: x1/x2 + x2/x1 = 13/18.