Решить систему уравнений : tg x + tg y = 1, x+y=п/4

Выразим y через x из второго уравнения:

y = п/4 - x;

Подставим в первое уравнение:

tg x + tg (п/4 - x) = 1;

Применим формулу тангенса разности двух углов:

tg x + (tg (п/4) - tg x) / (1 + tg (п/4) · tg x) = 1;

tg (п/4) = 1;

tg x + (1 - tg x) / (1 + tg x) = 1;

((tg x · (1 + tg x) + 1 - tg x)) / (1 + tg x) - 1 = 0;

Приведём к общему знаменателю:

(tg x + tg^2 x + 1 - tg x - 1 - tg x) / (1 + tg x) = 0;

tg x ≠ - 1; x ≠ - п/4 + пk, k∈Z.

tg^2 x - tg x = 0

tg x · (tg x - 1) = 0;

1) tg x = 0 = => x1 = пn, n∈Z; y1 = п/4 - пn;

2) tg x = 1 = => x2 = п/4 + пk; y2 = - пk, k∈Z.

Ответ: x1 = пn, n∈Z; y1 = п/4 - пn; x2 = п/4 + пk; y2 = - пk, k∈Z.