При каких значениях f (x) = x^3-6x^2/x^2-5x-14 принимает положительные значения

Функция будет принимать положительные значения при условии, что (х^3 - 6 х^2) / (х^2 - 5 х - 14) > 0. Решим это неравенство методом интервалов.

1. Разложим знаменатель на множители по формуле ах^2 + bx + c = a (x - x1) (x - x2), где х1 и х2 - корни квадратного трехчлена.

х^2 - 5 х - 14 = 0;

х1 = 7; х2 = - 2.

х^2 - 5 х - 14 = (х - 7) (х + 2).

2. Разложим числитель на множители. Вынесем за скобку общий множитель х^2.

х^3 - 6 х^2 = х^2 (х - 6).

3. (х^2 (х - 6)) / ((х - 7) (х + 2)) = 0.

Дробь равна нулю тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.

х = 0;

х - 6 = 0; х = 6;

х - 7 = 0; х = 7;

х + 2 = 0; х = - 2.

4. Отметим на числовой прямой пустыми кружками числа (-2); 0; 6; 7. Пустыми кружками потому, что знак неравенства не содержит знака =, и знаменатель не должен равняться 0.

Эти числа делят прямую на интервалы: 1) (-∞; - 2), 2) (-2; 0), 3) (0; 6), 4) (6; 7), 5) (7; + ∞). Наше выражение принимает положительные значения на 2, 3 и 5 интервалах. Этим интервалам и должно принадлежать значение х.

Ответ. x ∈ (-2; 0) ∪ (0; 6) ∪ (7; + ∞).