2sin^2 (x) + 2sinxcos2x-1=0

2sin²x + 2sinxcos2x - 1 = 0;

Применим формулу основного тождества тригонометрических функций:

1 = sin²x + cos²x;

2sin²x + 2sinxcos2x - (sin²x + cos²x) = 0;

2sin²x + 2sinxcos2x - sin²x - cos²x = 0;

sin²x - cos²x + 2sinxcos2x = 0;

Применим формулу двойного аргумента тригонометрической функций:

cos²x - sin²x = cos2x;

sin²x - cos²x = - cos2x;

Подставим полученные значения:

- cos2x + 2sinxcos2x = 0;

Вынесем общий множитель cos2x:

cos2x (2sinx - 1) = 0;

Произведение равно нулю, если:

1) cos2 х = 0;

2 х = π/2 + πn, n ∈ Z;

х1 = π/4 + π/2 * n, n ∈ Z;

2) 2sinx - 1 = 0;

2sinx = 1;

sinx = 1/2;

х = ( - 1) m arcsin (1/2) + πm, m ∈ Z;

х2 = ( - 1) ^m π/6 + πm, m ∈ Z;

Ответ: х1 = π/4 + π/2 * n, n ∈ Z, х2 = ( - 1) ^m π/6 + πm, m ∈ Z.