Вычислите: log2 (10) * log3 (2) * log4 (3) * log5 (4) * ... * log1000 (999)

Дано логарифмическое выражение log₂10 * log₃2 * log₄3 * log₅4 * ... * log₁₀₀₀999, которого обозначим через А. Анализ данного выражения показывает, что оно представляет собой произведение 999 множителей. Каждый множитель, начиная со второго, можно представить в виде следующего логарифмического выражения log_n (n - 1), где n = 3, 4, 5, ..., 1000. Начиная со второго множителя, применим ко всем логарифмам вида log_n (n - 1) формулу log_ab = (log_cb) / (log_ca), где а > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1. В качестве нового основания возьмём число 10. Имеем: log_n (n - 1) = lg (n - 1) / lgn. Тогда, данное выражение примет вид: А = log₂10 * (lg2 / lg3) * (lg3 / lg4) * (lg4 / lg5) * ... * (lg999 / lg1000) = log₂10 * (lg2 * lg3 * lg4 * ... lg999) / (lg3 * lg4 * lg5 * ... * lg1000). Очевидно, что после сокращения полученной дроби в последнем выражении на lg3 * lg4 * lg5 * ... * lg999, получим: А = log₂10 * lg2 / lg Используя тождество log_ab * log_ba = 1, где а > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1, и формулу log_abⁿ = n * log_ab, где а > 0, a ≠ 1, b > 0, n - любое число, с учетом равенства 1000 = 10³, получим: А = 1 / lg10³ = 1 / (3 * lg10) = ⅓.

Ответ: ⅓.