Сумма четырнадцатого и второго членов геометрической прогрессии равна 16, а сумма их квадратов равна 200

По условию:

а₂ + а₁₄ = 16.

а₂² + а₁₄² = 200.

Решим систему двух уравнений методом подстановки.

а₂ = 16 - а₁₄.

(16 - а₁₄) ² + а₁₄² = 200.

256 - 32 * а₁₄ + а₁₄^{2 +} а₁₄² = 200.

2 * а₁₄² - 32 * а₁₄ + 56 = 0.

а₁₄² - 16 * а₁₄ + 28 = 0.

Решим квадратное уравнение.

а₁₄ = 2 или а₁₄ = 14.

Пусть а₂ = 2, а₁₄ = 14.

а₂ = а₁ * q = 2.

a₁₄ = а₁ * q¹³ = 14.

14 / 2 = q¹².

q⁶ = √7.

a₈ = а₁ * q⁷ = a₂ * q⁶ = 2 * √7.

Ответ: Восьмой член прогрессии равен 2 * √7.