Найти промежутки возрастания и убывания функции y = - x^3+3x^2+4

Найдем промежутки возрастания и убывания функции у = - х^3 + 3 х^2 + 4 с помощью производной.

1) Найдем производную функции:

у' = ( - х^3 + 3 х^2 + 4) ' = - 3 х^2 + 6 х.

2) Приравняем производную функции к нулю и найдем точки экстремума:

- 3 х^2 + 6 х = 0 - вынесем за скобку общий множитель ( - 3 х);

- 3 х (х - 2) = 0 - произведение двух множителей равно нулю тогда, когда один из множителей равен нулю;

- 3 х = 0;

х1 = 0;

х - 2 = 0;

х2 = 2.

3) Отметим на числовой прямой числа 0 и 2. Эти числа делят числовую прямую на три интервала: 1) ( - ∞; 0), 2) (0; 2), 3) (2; + ∞).

4) Проверим знак производной в каждом интервале.

Число ( - 1) принадлежит 1 промежутку. - 3 * ( - 1) * ( - 1 - 2) = - 9 < 0. Если производная функции отрицательная, то сама функция является убывающей на данном промежутке.

Число 1 принадлежит 2 промежутку. - 3 * 1 * (1 - 2) = 3 > 0. Если производная функции положительная, то сама функция является возрастающей на данном промежутке.

Число 3 принадлежит 3 промежутку. - 3 * 3 * (3 - 2) = - 9 < 0, значит функция на этом промежутке является убывающей.

Ответ. Функция убывает на ( - ∞; 0) и на (2; + ∞); функция возрастает на (0; 2).