Из чисел от 1 до 1000 сначала вычеркнули делящиеся на 7, потом на 11, потом на 13. Сколько чисел было вычеркнуто на третьем шаге? Сколько осталось невычеркнутыми?

Определим число вычеркнутых чисел на каждом из шагов.

При вычеркивании среди чисел, записанных по порядку от 1 до 1000, чисел, делящихся на некоторое число, число вычеркнутых чисел будет равно неполному частному от деления 1000 на делитель, кратные которому вычеркиваются.

1000 / 7 = 142 ост (6);

Значит, на первом шаге вычеркнули 142 числа.

1000 / 11 = 90 ост (10);

1000 / 13 = 76 ост (12).

Если бы числа делящиеся на 7, 11 или 13, вычеркивались в отдельности, то было бы вычеркнуто 142, 90 или 76 чисел, однако числа вычеркивались последовательно, значит, до второго шага уже были вычеркнуты числа, делящиеся на число 7 * 11 = 77:

1000 / 77 = 12 ост (76).

То есть, на втором шаге вычеркнуто чисел 90 - 12 = 78.

До третьего шага уже вычеркнуты числа, делящиеся на

7 * 13 = 91 и 11 * 13 = 143:

1000 / 91 = 10 ост (90);

1000 / 143 = 6 ост (142).

То есть на третьем шаге вычеркнуто чисел:

76 - 10 - 6 = 60.

И число чисел оставшихся не вычеркнутыми:

1000 - 142 - 78 - 60 = 720.

Ответ: на третьем шаге вычеркнуто 60 чисел, осталось не вычеркнутыми 720 чисел.