Укажите промежутки возрастания и убывания функции y = 0,5x + sinx

1. Вычислим производную функции и найдем стационарные точки:

y (x) = 0,5x + sinx;

y' (x) = 0,5 + cosx;

0,5 + cosx = 0;

cosx = - 0,5;

x = ±2π/3 + 2πk, k ∈ Z.

2. Промежутки монотонности функции:

a) x ∈ (-2π/3 + 2πk; 2π/3 + 2πk);

y' (x) > 0, например:

y' (0) = 0,5 + cos0 = 0,5 + 1 = 1,5;

Производная больше нуля, функция возрастает.

b) x ∈ (2π/3 + 2πk; 4π/3 + 2πk);

y' (x) < 0, например:

y' (π) = 0,5 + cosπ = 0,5 - 1 = - 0,5;

Производная меньше нуля, функция убывает.

Ответ:

a) x ∈ (-2π/3 + 2πk; 2π/3 + 2πk) - функция возрастает; b) x ∈ (2π/3 + 2πk; 4π/3 + 2πk) - функция убывает.