Найдите наименьшее значение функций: 1) y=x^2-2x+7

у = х^2 - 2 х + 7.

1 способ - через производную функции.

Найдем точки экстремума функции

Сначала нужно найти точки экстремума функции, т. е. такие точки, в которых производная функции равна нулю или не существует.

Найдем производную функции

Для нахождения производной воспользуемся формулой:

(х^a) ' = ax^ (a - 1).

Тогда:

y' = (х^2 - 2 х + 7) ' = 2 х - 2.

Точки экстремума:

у' существует при всех значениях х.

y' = 0:

2 х - 2 = 0,

х = 1.

Т. к. при переходе через точку х = 1, производная функции меняет знак с "-" на "+", то точка х = 1 является точкой минимума функции и в этой точке достигается наименьшее значение функции.

у_наим = у (1) = 1^2 - 2 * 1 + 7 = 1 - 2 + 7 = 6.

Ответ: у_наим = 6.

2 способ - аналитический.

у = х^2 - 2 х + 7 - квадратичная функция, графиком является парабола. Т. к. коэффициент перед х^2 больше нуля (1 > 0), то ветви параболы направлены вверх. Наименьшее значение функция достигает в вершине параболы.

Абсциссу вершины параболы можно найти по формуле:

х₀ = - b / 2a = 2 / 2 = 1.

Ордината: y₀ = у (1) = 1^2 - 2 * 1 + 7 = 1 - 2 + 7 = 6.

Наименьшее значение функции у_наим = 6.