Найти наименьшее натуральное число, которое после умножения на 3 станетквадратом натурального числа, а после умножения на 5-кубом.

Искомое натуральное число должно стать квадратом натурального числа после умножения на 3, значит, искомое натуральное число можно представить в виде произведения 3 и квадрата некоторого натурального числа: х = 3 * а^2.

С другой стороны, после умножения на 5 искомое число должно стать кубом некоторого натурального числа, значит, его можно представить в виде произведения 25 и куба некоторого натурального числа: х = 25 * в^3.

3 * а^2 = 25 * в^3;

Выразим а через в:

а = 5 * в * √ (в/3).

Очевидно, это число х будет наименьшим при наименьших натуральных а и в, для которых выполняется это равенство.

Наименьшее натуральное в, делящееся на 3 это число 3. Предположим, в = 3:

а = 5 * 3 * √ (3/3) = 15.

Тогда число х = 3 * 15^2 = 675.

Ответ: 675.