Найдите наименьшее натуральное число n такое, что n/2 является квадратом натурального числа, а n/3 - кубом натурального числа.

1. По условию задачи:

{n/2 = a^2, a ∈ N;

{n/3 = b^3, b ∈ N;

{n = 2a^2; (1)

{n = 3b^3. (2)

2. Умножим обе части уравнений (1) и (2) друг на друга:

n^2 = 2a^2 * 3b^3;

n^2 = a^2 * 6b^3. (3)

4. Из уравнения (3) следует, что b содержит простые множители 2 и 3:

b = 6k, k ∈ N.

Отсюда получим:

n = 3b^3 = 3 * (6k) ^3;

n = 3 * 6^3 * k^3;

n = 2^3 * 3^4 * k^3;

n = 648k^3.

5. Наименьшее значение для n получим, если:

k = 1;

n = 648k^3 = 648.

6. Проверим условие задачи:

648 / 2 = 324 = 18^2; 648 / 3 = 216 = 6^3.

Ответ: 648.