Найти угол между векторами a = m + n и b = m - n, если |m| = 2, |n| = 1 и угол между m и n равен 60°.

Решение.

Пусть φ - угол между векторами a и b; φ1 - угол между векторами m и n; cos φ1 = 1/2.

cos φ = (a∙b) / (|a|∙|b|);

Скалярное произведение:

a∙b = (m + n) ∙ (m - n) = m^2 - n^2 = 4 - 1 = 3;

Длины векторов:

|a| = sqrt (a^2) = sqrt ((m + n) ^2) = sqrt (m^2 + 2m∙n + n^2) = sqrt (4 + 2∙2∙1∙cos (φ1) + 1) = sqrt (7);

|b| = sqrt (b^2) = sqrt ((m - n) ^2) = sqrt (m^2 - 2m∙n + n^2) = sqrt (4 - 2∙2∙1∙cos (φ1) + 1) = sqrt (3);

Тогда cos φ = 3 / (sqrt (7) * sqrt (3)) = 3/sqrt (21) = 0,65;

φ ≈ 50.

Ответ. φ ≈ 50.