1. Найдите координаты середины отрезка АВ, если А (-2; 0; 5), В (-1; - 1; 1). 2. Разложите вектор |а | = (6; - 3; 0) по единичным координатным векторам. 3. Найдите косинус угла между векторами |а | = (2; - 5; 4) и |b | = (-1; 2; 7). 4. Составьте уравнение прямой, проходящей через точку (2; 3) перпендикулярно к вектору |n | = (1; 4). 5. Дан треугольник ∆АВС, где А (1; 4), В (-5; 0), С (-2; - 1). Найдите медиану АD. 6. Найдите скалярное произведение векторов и, если |а | = 3, |b | = 5, угол между векторами |а | и равен |b | 120 градусов

1. Найдем координаты середины отрезка АВ, использовав формулу: x₀ = (x_a - x_b) / 2; y₀ = (y_a - y_b) / 2;

z₀ = (z_a - z_b) / 2. x₀ = (-2 + 1) / 2 = -1/2; y₀ = (0 + 1) / 2 = 1/2; z₀ = (5 - 1) / 2 = 2.

Ответ: координаты середины (-1/2; 1/2; 2).

2. Разложим вектор а = (6; - 3; 0) по ортам: а = 6i - 3j + 0k = 6i - 3j.

3. Найдем косинус угла между векторами, использовав формулу скалярного произведения векторов: (a * b) = |а| * |b| * cosa.

cosa = (a * b) / (|а| * |b| → ((2 * (-1) - 5 * 5 + 4 * 7) / (√ (-1) ² + 2² + 7²) * √ (2² + (-5) ² + 4²) =

= (-2 - 25 + 28) / (√1 + 4 + 49) * √ (4 + 25 + 16) = 1/√54 * 45 = 1/√ (9 * 6 * 9 * 5) = 1/9*√30 = √30 / 9 * 30

4. Составим уравнение прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно данному вектору.

ax + by + c = 0 - уравнение прямой в общем виде, где (a; b) координаты перпендикулярного вектора.

Подставим в это уравнение координаты точки А (2; 3) и вектора n (1; 4):

1 * 2 + 4 * 3 + c = 0 → 2 + 12 + c = 0 → 14 + c = 0 → c = - 14.

x + 4y - 14 = 0 - искомое уравнение прямой.