Решите неравенство: 2^ (x / (x+1)) - 2^ ((5x+3) / (x+1)) + 8≤2^ ((2x) / (x+1))

1. Обозначим:

z = 2^ (x / (x + 1)).

Тогда получим:

2^ (2x / (x + 1)) = z^2;

(5x + 3) / (x + 1) = (3x + 3 + 2x) / (x + 1) = 3 + 2x / (x + 1);

2^ ((5x + 3) / (x + 1)) = 2^ (3 + 2x / (x + 1)) = 8 * 2^ (2x / (x + 1)) = 8 * z^2.

2. Подставив значения этих выражений, получим уравнение:

z - 8z^2 + 8 ≤ z^2;

9z^2 - z - 8 ≥ 0;

D = 1 + 4 * 9 * 8 = 1 + 288 = 289;

z = (1 ± 17) / 18;

z1 = (1 - 17) / 18 = - 16 / 18 = - 8/9;

z2 = (1 + 17) / 18 = 18 / 18 = 1;

z ∈ (-∞; - 8/9] ∪ [1; ∞);

[z ≤ - 8/9;

[z ≥ 1.

3. Найдем значения x:

a) 2^ (x / (x + 1)) ≤ - 8/9, нет решений.

b) 2^ (x / (x + 1)) ≥ 1;

x / (x + 1) ≥ 0;

x ∈ (-∞; - 1) ∪ [0; ∞).

Ответ: (-∞; - 1) ∪ [0; ∞).