Сумма десяти первых членов арифметической прогрессии равна 140, а произведение а2*а9 = 147, найти прогрессию если она является возрастающей

1. Сумма первых 10 членов арифметической прогрессии an выражается формулой:

S10 = 10 (a1 + a10) / 2 = 5 (a1 + a10). (1)

2. Заметим, что сумма двух членов am и an, для которых выполняется условие m + n = 11, одна и та же:

a1 + a10 = a1 + a1 + 9d = 2a1 + 9d; a2 + a9 = a1 + d + a1 + 8d = 2a1 + 9d, и т. д.

Следовательно, вместо уравнения (1) получим уравнение:

S10 = 5 (a2 + a9).

3. Составим уравнения для условий задачи:

{a2 * a9 = 147;

{5 (a2 + a9) = 140; {a2 * a9 = 147;

{a2 + a9 = 28.

4. По обратной теореме Виета, a2 и a9 являются корнями уравнения:

p^2 - 28p + 147 = 0; p = 14 ± √ (14^2 - 147) = 14 ± √ (196 - 147) = 14 ± √49 = 14 ± 7; p1 = 14 - 7 = 7; p2 = 14 + 7 = 21.

5. Поскольку прогрессия возрастающая, то:

a2 = 7; a9 = 21; d = (a9 - a2) / 7 = (21 - 7) / 7 = 14/7 = 2; a1 = a2 - d = 7 - 2 = 5.

Ответ. a1 = 5; d = 2.