Сторона jоснования треугольной правильной пирамиды 12 см высота 15 см найти апофему

Пусть SАВС - данная пирамида (АВС - основание). АВ = ВС = АС = 12 см. SO - высота пирамиды, SO = 15 см.

Проведем высоту в основании АН (Н принадлежит ВС). В правильном треугольнике высота будет являться медианой, ВН = СН = 12 : 2 = 6 см.

В треугольнике АНВ (угол Н = 90°) вычислим длину АН по теореме Пифагора:

АН = √ (AC² - CH²) = √ (12² - 6²) = √ (144 - 36) = √108 = 6√3 cм.

Точка О является центром АВС, то есть центром вписанной (и описанной) окружности треугольника АВС. ОН относится к АО как 1 : 2. Следовательно, ОН = 1/3 АН = 6√3 : 3 = 2√3 см.

В треугольнике SOH вычислим длину SH по теореме Пифагора:

SH = √ (SO² + OH²) = √ (15² + (2√3) ²) = √ (225 + 12) = √237 cм.

Ответ: апофема пирамиды равна √237 см.