Найти наименьшее значение функции у=5 х^2+10 х+14/х^2+2 х+4

1. Преобразуем функцию, выделив полные квадраты двучленов:

у = (5 х^2 + 10 х + 14) / (х^2 + 2 х + 4); у = (5 х^2 + 10 х + 5 + 9) / (х^2 + 2 х + 1 + 3). у = (5 (х + 1) ^2 + 9) / ((х + 1) ^2 + 3).

2. Найдем частное и остаток от деления многочленов:

у = (5 ((х + 1) ^2 + 3) - 6) / ((х + 1) ^2 + 3); у = 5 - 6 / ((х + 1) ^2 + 3). (1)

3. Из уравнения (1) следует, что наименьшего значения функция достигает при наименьшем значении знаменателя:

x + 1 = 0; x = - 1; y (min) = y (-1) = 5 - 6 / (0 + 3) = 5 - 6/3 = 5 - 2 = 3.

Ответ: 3.