Два стрелка независимо друг от друга стреляют о одной мишени, делая каждый по одному выстрелу. Вероятность попадания в мишень для первого 0.8, для второго 0.7. После стрельбы 1 пробоина. Найти вероятность, что в мишень попал первый.

Вероятность попасть первому стрелку - p1 = 0,8, а вероятность промаха: q1 = 1 - 0,8 = 0,2.

Вероятность попасть второму стрелку - p2 = 0,7, а вероятность промаха: q2 = 1 - 0,7 = 0,3.

Примем следующие гипотезы:

H1 - ни ни один из стрелков не попадёт,

H2 - оба стрелка попадут,

H3 - первый стрелок попадет, а второй промажет,

H4 - первый стрелок промажет, а второй попадет.

Вероятности гипотез:

P (H1) = q1 · q2 = 0,2 · 0,3 = 0,06;

P (H2) = p1 · p2 = 0,8 · 0,7 = 0,56;

P (H3) = p1 · q2 = 0,8 · 0,3 = 0,24;

P (H4) = q1 · p2 = 0,2 · 0,7 = 0,14;

Условные вероятности события A, при котором только одна пробоина в мишени равны:

P (A|H1) = 0;

P (A|H2) = 0;

P (A|H3) = 1;

P (A|H4) = 1;

После опыта гипотезы H1 и H2 не подтверждаются, а вероятность гипотезы H3, что попал первый стрелок определятся по формуле Байеса:

P (H3|A) = (P (H3) · P (A|H3)) / (P (H3) · P (A|H3) + (P (H4) · P (A|H4)) =

= 0,24 · 1 / (0,24 · 1 + 0,14 · 1) = 0,632.

Ответ: Вероятность того, что попал первый стрелок 0,632.