Найдите значение выражения sin^3x+cos^3x, если sinx+cosx=a

Рассмотрим тригонометрическое выражение sin³x + cos³x, которого обозначим через Т. По требованию задания, найдём значение данного выражения при sinx + cosx = a. Анализ данного выражения показывает, что к нему можно применить формулу сокращенного умножения a³ + b³ = (a + b) * (a² - a * b + b²) (сумма кубов). Тогда, получим: Т = (sinx + cosx) * (sin²x - sinx * cosx + cos²x). Учитывая формулу sin²α + cos²α = 1 (основное тригонометрическое тождество) и данное равенство sinx + cosx = a, имеем: Т = а * (1 - sinx * cosx). Используя формулу сокращенного умножения (a + b) ² = a² + 2 * a * b + b² (квадрат суммы), возводим обе части равенства sinx + cosx = a в квадрат. Тогда, имеем: sin²x + 2 * sinx * cosx + cos²x = a². Ещё раз воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: 1 + 2 * sinx * cosx = a² или 2 * sinx * cosx = a² - 1, откуда sinx * cosx = ½ * (a² - 1). Подставляя это в выражение Т, окончательно получим: Т = а * (1 - ½ * (a² - 1)) = а * (1 - ½ * a² + ½) = а * (3 - а²) / 2.

Ответ: а * (3 - а²) / 2.