Найдите наименьшее и наибольшее значения функции y = (x+2) * (x+2) * (x+2) * (x+2) - 2 на отрезке [-1; 4]

Преобразуем функцию:

y = (x + 2) * (x + 2) * (x + 2) * (x + 2) - 2 = (х + 2) ⁴ - 2.

1) Найдем производную данной функции.

y = (х + 2) ⁴ - 2.

у' = 4 (х + 2) ³ * (х + 2) ' = 4 (х + 2) ³.

2) Приравняем производную к нулю.

у' = 0; 4 (х + 2) ³ = 0; х + 2 = 0; х = - 2.

3) Определим знаки производной на каждом промежутке.

(-∞; - 2) пусть х = - 3, у' = 4 (х + 2) ³ = 4 (-3 + 2) ³ = - 4. Производная отрицательна, функция убывает.

(-2; + ∞) пусть х = 0, у' = 4 (0 + 2) ³ = 32. Производная положительна, функция возрастает.

4) Находим точки экстремума. Получается х = - 2 это точка минимума функции, но она не входит в промежуток [-1; 4]. На данном промежутке функция возрастает, значит:

х_max = 4.

х_min = - 1.

5) Найдем минимальное значение функции:

х = - 1, y = (х + 2) ⁴ - 2 = (-1 + 2) ⁴ - 2 = 1 - 2 = - 1.

Найдем максимальное значение функции:

х = 4; y = (4 + 2) ⁴ - 2 = 1294.

Ответ: минимальное значение функции на промежутке [-1; 4] равно - 1, а максимальное значение равно 1294.